Mis breves apuntes de matemática.

1.Introducción

Una función matemática es una relación particular entre dos conjuntos, el de entrada, que se llama dominio, y el de salida, que se llama codominio. Esta relación empareja los elementos de ambos conjuntos de forma tal de que a cada elemento del dominio le corresponde un sólo elemento en el codominio. Esto puede ilustrarse dibujando dos conjuntos y relacionando mediante flechas sus elementos. Así:

Recalco nuevamente que de cada elemento de X sale una sola flechita, lo que se conoce como condición de unicidad. Esa es la primera condición que toda función debe cumplir; la segunda es la condición de existencia: de todo elemento de X sale si o si una flechita.

La forma algebraica de expresar una función es mediante una ecuación con variables. Por ejemplo

y = 2x

Esta es la función que a cada x le asigna un y. Así, si entra 2 sale 4, si entra 3 sale 6 y así ad infinitum. Sin embargo, ¿x puede ser sólo números enteros o cualquier cosa? ¿y qué hay de y? Si tenemos estas dudas es porque no he descrito apropiadamente cómo es la función. Veamos ahora

y: N \rightarrow N / y = 2x

Ahora ya se entiende que la función y va del conjunto de los números naturales, representados con la letra N, hacia otro conjunto de números naturales. Generalmente suele notarse f(x) en lugar de y, lo que se interpreta como “f es la función cuya variable es x“.

Para definir correctamente una función es necesario explicitar cuál de dónde hasta dónde va, tal y como acabo de hacer. Si no se dice nada se sobreentiende que la función acepta todos los valores posibles, tanto en el conjunto de salida como en el de llegada.

2. Preimagen e imagen

Supongamos que tenemos la función genérica f: X \rightarrow Y, f(x) = y . En ese caso, X sería el dominio de f, Y el codominio, y la imagen de x y x la preimagen de y$. También recibe el nombre de imagen de f el subconjunto del codominio al cual realmente llega la función. Veamoslo con un ejemplo. Si tengo la función

f: N \rightarrow Q / f(x) = \frac{1}{x}

El dominio es el conjunto de los números naturales y el codominio es Q. Sin embargo la imagen de f es sólo una pequeña parte de este: el conjunto de todos los números fraccionarios de numerador 1. Todo esto se nota así

Dom(f(x)) = \left\{ x | x \in N \right\}

Esto se lee “todos los x tal que x está en los naturales”

Im(f(x)) = \left\{ \frac{1}{y} | y \in N \right\}

Esto se lee “todos los \frac{1}{y} tal que y está en los naturales”

3. Inyectividad

Según la forma en que interactuen el dominio y el codominio, las funciones serán inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. El primer caso ocurrirá si por cada x hay una y solo una imagen. La siguiente imagen ilustra esto:

Por ejemplo,

y: N \rightarrow N / f(x) = 2x+1

es una función inyectiva. Vamos a demostrarlo. Si f no fuese inyectiva, entonces existe un x, que llamaré x_0 , que tiene dos imágenes distintas, llamémoslas h y g . Sin embargo,

h = 2x_0 + 1

g = 2x_0 + 1

Así, no pueden ser distintas. Luego, f es inyectiva.

Veamos ahora una definición un poquito más formal de inyectividad:

f es inyectiva si y solo si \forall x, y \in Dom(f), f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

(“\forall” se lee para todo; “\Rightarrow” significa implica)

4. Sobreyectividad

Una función se dice sobreyectiva si su imagen es todo el codominio.

Volviendo al ejemplo anterior, ¿es f: N \rightarrow N, f(x) = 2x + 1 sobreyectiva? Claramente no, pues para serlo la imagen debería ser todo N ; sin embargo el valor más pequeño que puede tomar f es f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3

Una definición formal de sobreyectividad sería la seguiente:

f: X \rightarrow Y se dice sobreyectiva si \forall y \in Y \, \exists x \in X tal que f(x) = y

(\exists se lee existe; “\in significa pertenece)

5. Biyectividad

Una función se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Graficamente:

Un ejemplo trivial sería

f: N \rightarrow N / f(x) = x

6. Tipos de funciones

En primera instancia, todas las funciones se dividen en dos categorías:

  • Funciones elementales: Son funciones formadas mediante la combinación finita de monomios, exponenciales, raíces y logaritmos. Las funciones trigonométricas también pertenecen a este grupo.
  • Funciones no-elementales: Como el nombre lo indica, son funciones que no son elementales. Por ejemplo, la función módulo o los polinomios de infinitos términos son una funciones no elementales.

A su vez, las funciones elementales se dividen en dos subgrupos:

  • Funciones algebraicas: son aquellas que satisfacen una ecuación polinomial cuyos coeficientes son también polinomios. Pertenecen a este grupo las funciones potenciales, las raíces, las polinómicas y las homográficas.
  • Funciones trascendentes: son aquellas que no son algebraicas. Pertenecen a este grupo la función exponencial, el logaritmo y las trigonométricas.
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