Mis breves apuntes de matemática.

1. Introducción

Las funciones trigonométricas relacionan las longitudes de los lados del triángulo con sus ángulos. Si se traza una circunferencia de radio r, entonces el arco de circunferencia s determinado por el ángulo \theta cumple la siguiente relación

s = r \cdot \theta

Es decir que s y \theta son proporcionales en un factor r. Así, al duplicar el ángulo se duplica el arco comprendido.

2. Radianes

Hay muchos sistemas distintos para mediar ángulos, siendo los más populares el grado sexagesimal y el radian. Ambos están relacionados mediante

\pi \; rad = 180^{\circ}

(En realidad, el “rad” no se escribe, pero lo pongo para explicitar).

Así, haciendo uso de la regla de tres simple, podemos pasar de grados a radianes utilizando

radian = \frac{grado \; sexagesimal \cdot \pi}{180}

Utilizar radianes suele ser lo más práctico y sencillo; ya lo verán.

3. Relaciones trigonométricas

Estas relaciones definen al seno; al coseno; a la tangente y a sus inversas, cotangente, secante y cosecante.

  • sen(\alpha) = \displaystyle {\frac{opuesto}{hipotenusa}}
  • cos(\alpha) = \displaystyle {\frac{adyacente}{hipotenusa}}
  • tan(\alpha) = \displaystyle {\frac{opuesto}{adyacente}}
  • csc(\alpha) = \displaystyle {\frac{hipotenusa}{opuesto}}
  • sec(\alpha) = \displaystyle {\frac{hipotenusa}{adyacente}}
  • cot(\alpha) = \displaystyle {\frac{adyacente}{opuesto}}

4. Funciones trigonométricas

Función seno

y = sen(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)

y = 0 cuando x = \left\{... \; 0, \pi, 2\pi, 3\pi,... \; m \pi \right\} , en donde m en un número entero (tanto positivo como negativo).

Ejemplo 4.1: Graficar g = 4sen(3x + \pi)

  • El 4 indica que tenemos que multiplicar por 4 el valor máximo y el valor mínimo de y=sen(x)
  • El \pi indica que cuando x=0 entonces g = 4sen(\pi)=0
  • El 3 está relacionado con el periodo y con la frecuencia con que g corta al eje. Me indica que g corta al eje 3 veces “más rápido” que y = sen (x). (Veáse más abajo periodicidad)
  • Por lo anterior, g = 0 cuando x = m \frac{\pi}{3}. (x = m \pi eran las raíces de y =sen(x)).

Por todo el gráfico será

  • En azul: y = sen(x)
  • En rojo: g = 4sen(3x + \pi)

Función coseno

y = cos(x) = sen(\frac{\pi}{2} - x)

Las raices de y son x = m \frac{\pi}{2}, com m entero.

Función tangente

y = tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}

Esta función tiene las mismas raíces que y=sen(x) y posee asíntotas en las rectas x = m \frac{\pi}{2}, pues allí es donde se anula y = cos(x).

Función cosecante

y = csc(x) = \frac{1}{sen(x)}

Función secante

y = sec(x) = \frac{1}{cos(x)}

Función cotangente

y = cot(x) = \frac{1}{tan(x)}

5. Periodicidad

Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir que cumplen con

f(x) = f(x + P) \; \forall x \in Dom(f)

En donde P es el periodo. El seno, coseno y sus inversas tienen P = 2 \pi; la tangente y la cotangente tienen P = \pi.

Ejemplo 5.1: ¿Cual es el periodo de la función \displaystyle {y = 15sen \left(\frac{\pi x - 4}{2} \right)}?

Quiero P tal que f(x) = f(x + P). Es decir

\displaystyle {15sen \left(\frac{\pi x - 4}{2}\right) = 15sen\left(\frac{\pi (x+P) - 4}{2}\right)}

Y sabemos que el periodo del coseno es de 2 \pi

\displaystyle {15sen \left(\frac{\pi x - 4}{2}\right) = 15sen\left(\frac{\pi x - 4}{2}+2\pi\right)}

Por lo que

\displaystyle {15sen\left(\frac{\pi (x+P) - 4}{2}\right)= 15sen\left(\frac{\pi x - 4}{2}+2\pi\right)}

Así que lo que quiero es que

\frac{\pi (x+P) - 4}{2} = \frac{\pi x - 4}{2}+2\pi \Rightarrow \pi x + \pi P - 4 = \pi x - 4 + 4\pi \Rightarrow P = 4

En general, en una función de la forma y = sen(\omega x + \phi) el periodo es \displaystyle {\frac{2 \pi}{\omega}}. (Lo mismo vale para el coseno, pues el coseno coincide con el seno si se lo desplaza \frac{\pi}{2}). \omega es lo que se llama la frecuencia angular, que se define como

\displaystyle { frecuencia \; angular = \frac{2\pi}{periodo}}

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